Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Методическое пособие для студентов заочного отделения экономических специальностей по предмету
ЭКОНОМЕТРИКА
Преподаватель: к.э.н. Крутова А.В.
Пермь, 2014г.
Оглавление
Введение
Успешная практическая деятельность экономиста во многом зависит от рациональной организации, сбора и обработки информации, от умения строить и анализировать эконометрические модели взаимосвязей экономических явлений и процессов. Огромные объемы информации, сопровождающие деятельность любого предприятия, функционирующего в современных условиях, содержит множество полезных сведений, грамотное выявление, обработку и использование которых позволит сотрудникам этого предприятия значительно повысить эффективность его работы.
Эконометрика ‒ это наука, изучающая конкретные количественные закономерности и взаимосвязи экономических явлений, объектов и процессов с помощью статистических и математических методов и моделей. Она основывается на экономической теории, экономической статистике, статистико-математическом инструментарии. Эконометрика придает количественное выражение качественным закономерностям экономических явлений и процессов.
К основным разделам эконометрики относят регрессионный анализ, анализ временных рядов, системы одновременных уравнений, статистические методы классификации и снижения размерности.
Эконометрику применяют:
макроуровень - модели национальной экономики;
мезоуровень - модели региональной экономики, отраслей, секторов;
микроуровень - модели поведения потребителей, домашних хозяйств, фирм, предприятий.
Задачи данного курса:
- освоение методов и приемов эконометрического анализа статистических данных;
- изучение аппарата и техники разработки математических моделей связей и зависимостей между экономическими явлениями и процессами;
- формирование навыков количественной оценки состояния, развития и прогнозирования социально-экономических явлений.
1. Однофакторный корреляционно-регрессионный анализ
При однофакторном анализе изучается влияние одного, как правило, определяющего фактора Х на изменение результативного признака Y.
Уравнение связи между двумя переменными имеет вид y = f (x), где у – зависимая переменная (результативный признак); x – независимая переменная (факторный признак).
Уравнения регрессии подразделяются на линейные и нелинейные.
Модель линейной регрессии имеет вид:
y = a + bx + ε,
где ε ‒ случайный член, характеризующий отклонение фактических значений результативного признака от значений, найденных по уровню регрессии; a и b – параметры уравнения.
Задачами корреляционно-регрессионного анализа являются: установление типа уравнения регрессии; оценка параметров уравнения регрессии и их значимости; оценка тесноты связи между переменными; определение прогнозных значений зависимой переменной.
Выбор конкретной математической модели осуществляется графическим, аналитическим или экспериментальным методами.
Определение параметров уравнений регрессии обычно проводится методом наименьших квадратов.
В случае применения модели парной линейной регрессии нахождение её параметров методом наименьших квадратов сводится к составлению и решению следующей системы нормальных уравнений Гаусса:
Оценка тесноты связи при линейной регрессии проводится с использованием коэффициента корреляции, а при нелинейной регрессии – индекса корреляции. Значимость параметров уравнения регрессии и показателей тесноты связи осуществляется с помощью статистических критериев: t-Стьюдента, F-Фишера, χ2- Пирсона и других.
2.Применение однофакторного корреляционно-регрессионного анализа на примере
Имеются выборочные данные о покупателях продуктовых магазинов некоторой сети (Таблица 1). Необходимо:
1. Подобрать модель уравнения регрессии.
2. Рассчитать параметры выбранного уравнения регрессии методом наименьших квадратов.
3. Оценить качество уравнения регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации.
4. Найти коэффициент эластичности.
5. Оценить тесноту связи между переменными с помощью показателей корреляции и детерминации.
6. Оценить значимость коэффициентов корреляции и регрессии по критерию t – Стьюдента при уровне значимости . =0,05.
7. Охарактеризовать статистическую надежность результатов регрессионного анализа с использованием критерия F – Фишера при уровне значимости . =0,05.
8. Определить прогнозное значение результативного признака, если возможное значение факторного признака составит 1,1 от его среднего уровня по совокупности.
Таблица . Данные о покупателях продуктовых магазинов некоторой сети
Номер покупателя
|
Время выбора товара, мин.,
х
|
Количество приобретенных товаров, шт.,
у
|
1
|
17
|
11
|
2
|
15
|
7
|
3
|
13
|
9
|
4
|
20
|
13
|
5
|
26
|
21
|
6
|
10
|
8
|
7
|
21
|
21
|
8
|
24
|
16
|
9
|
11
|
5
|
10
|
29
|
22
|
Решение:
Определим наличие связи, ее характер и направление.
Метод приведения параллельных данных основан на сопоставлении двух ил нескольких рядов статистических величин. Исходные данные по признаку X располагаются в порядке возрастания или убывания, а по признаку Y записываются соответствующие им значения (Таблица 2). Путем сопоставления значений X и Y, делается вывод о наличии и направлении зависимости.
Таблица . Ранжирование данных по признаку Х
Время выбора товара, мин.,
х
|
Количество приобретенных товаров, шт., у
|
10
|
8
|
11
|
5
|
13
|
9
|
15
|
7
|
17
|
11
|
21
|
13
|
21
|
21
|
24
|
16
|
26
|
21
|
29
|
22
|
Как видно из таблицы, с увеличением величины Х величина У также возрастает. Можно сделать предположение, что связь между ними прямая, и описать ее можно уравнением прямой, либо уравнением параболы второго порядка.
Построим график зависимости переменных Х и Y в прямоугольной системе координат. На оси абсцисс откладываются значения факторного признака Х, а по оси ординат ‒ результативного признака У. Чем сильнее связь между признаками, тем теснее будут группироваться точки вокруг определенной линии, выражающей форму связи (рис.1). При отсутствии тесных связей имеет место беспорядочное расположение точек на графике.
Рисунок . График зависимости переменных Х и Y
Характер расположения точек на графике показывает, что связь между переменными может выражаться линейным уравнением регрессии
y = a + bx
Найдем параметры уравнения регрессии методом наименьших квадратов, путем составления и решения следующей системы нормальных уравнений:
Для проведения всех расчетов построим вспомогательную таблицу 3, в которой результаты вычислений округлены, а все средние значения находятся по формуле средней арифметической простой:
Таблица . Вспомогательная таблица
Подставим полученные значения в систему уравнений, получим:
Решив систему методом подстановок, получим: а = -3,34; b = 0,89. Небольшие расхождения в результатах расчетов могут происходить за счет округления средних значений.
Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:
y = 0,89x – 3,34
Качество уравнения регрессии оценивается при помощи средней ошибки аппроксимации:
Фактические значения количества покупок отличаются в среднем от расчетных значений, найденных по уравнению регрессии на 18,3%.
Качество уравнения регрессии считается хорошим, если ошибка аппроксимации не превышает 8-10 %. Полученное уравнение регрессии можно оценить как недостаточно хорошее, это обусловлено, в том числе, небольшим объёмом выборки.
Найдем средний коэффициент эластичности, который отражает, насколько процентов изменится зависимая переменная, при изменении независимой переменной на 1%. При линейной форме связи находится по формуле:
 ,
где  - средние значения признаков.
Коэффициент эластичности показывает, что при увеличении времени выбора товаров на 1%, количество покупок увеличивается в среднем на 1,3%.
При линейной зависимости теснота связи между переменными Х и У определяется с помощью коэффициента корреляции:
Корреляция – это статистическая взаимосвязь между случайными величинами, не имеющими строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания (средней величины) другой.
 ,
где σх и σу – средние квадратические отклонения по Х и У.
В таблице ниже представлены показания тесноты связи.
Таблица . Показания тесноты связи
Показания тесноты связи
|
До |±0,3|
|
|±0,3|-|±0,5|
|
|±0,5|-|±0,7|
|
|±0,7|-|±1,0|
|
Характеристика силы связи
|
Практически отсутствует
|
Слабая
|
Умеренная
|
Сильная
|
Так как значение полученного коэффициента корреляции довольно близко к единице, то между признаками связь тесная и прямая.
Коэффициент детерминации — это квадрат коэффициента корреляции. Показывает, какая доля дисперсии результативного признака объясняется влиянием независимых переменных.
R2 = 0,84
Коэффициент детерминации показывает, что 84% различий в количестве приобретенных товаров объясняется вариацией времени выбора товаров, а 16 % другими, неучтенными факторами.
Чем больше объем выборки, тем меньшей величины коэффициента корреляции оказывается достаточно для того, чтобы корреляция была признана достоверной. В результате, при малом объеме выборки и сильная корреляция может оказаться недостоверной. Это объясняется большой возможностью обнаружения случайных связей, поскольку число всех сочетаний в малых выборках также мало. В то же время, при больших объемах выборки даже слабая корреляция между какими либо признаками может оказаться достоверной.
Так как исходные данные являются выборочными, то необходимо оценить существенность или значимость величины коэффициента корреляции. Выдвигаем нулевую гипотезу: коэффициент корреляции в генеральной совокупности равен нулю и изучаемый фактор не оказывает существенного влияния на результативный признак:
при Н0: r=0; при Н1: r≠0.
Оценим значимость коэффициентов корреляции и регрессии по критерию t – Стьюдента при уровне значимости a = 0,05.
Для этого необходимо сравнить наблюдаемое значение t-критерия (tн) с критическим значением (tкр), найденным по таблице.
Найдем наблюдаемое значение t – критерия:
Критическое значение t находится по таблицам распределения t – Стьюдента при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы к = n‒2 = 10‒2 =8 для двухсторонней критической области.
tкр = 2,31
Уровень значимости – это вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, при условии, что она верна. Уровень значимости используется для вычисления уровня надежности. Уровень надежности равняется
100*(1 - альфа) процентам, то есть значение альфа, равное 0,05 означает 95-процентный уровень надежности.
Другими словами до 5% составляет вероятность того, что мы ошибочно сделали вывод о том, что коэффициент корреляции в генеральной совокупности не равен нулю и изучаемый фактор оказывает существенное влияние на результативный признак.
Сравниваем tн с tкр . Так как tн (6,37) > tкр (2,31), то нулевая гипотеза отвергается, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля в генеральной совокупности. Значит, время покупки оказывает статистически существенное влияние на количество покупок.
Статистическая значимость коэффициента регрессии также проводится с использованием критерия t – Стьюдента. Расчет наблюдаемого значения производится по формуле:
 ; 
Критическое значение t также равно 2,31. Так как tн > tкр, то коэффициент регрессии статистически значим. Подтверждается вывод о значимости влияния времени выбора товара на количество приобретенных товаров.
7. Статистическая надежность уравнения регрессии проверяется с использованием критерия F-Фишера. Рассматривается нулевая гипотеза: H0: r2=0, при альтернативной Н1: r2≠0. Наблюдаемое (фактическое) значение F – критерия находится по формуле:
При уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы k1=m=1, где m – число параметров при факторе x; k2=n-m-1=10-1-1=8 по таблице находится критическое значение F – критерия.
Так как Fн > Fкр, то уравнение регрессии статистически значимое или надежное.
8. Прогнозное значение результативного признака определяется путем подстановки в уравнение регрессии прогнозного или возможного значения факторного признака (хр).
Определим прогнозное значение результативного признака (количества покупок), если возможное значение факторного признака составит 1,1 от его среднего уровня по совокупности. Среднее время выбора товара составляет 18,7 мин. 110% от этой величины составляет 20,5 минут.
Прогнозное значение количества приобретенных товаров рассчитываем, подставив значение в полученное уравнение регрессии.
y = 0,89*20,5 – 3,34 = 15 шт.
Значит, при времени выбора товара 20,5 минут возможное количество приобретенных товаров составит 15 шт.
Требования к контрольной работе
Оформление: Текстовый редактор MS Word, шрифт 14 кеглей Times New Roman. Формулы выполнены в редакторе формул.
Содержание: Титульный лист, содержание, введение, основная часть, заключение, список литературы.
Сдача: работа отправляется на электронный адрес: alexkrutova@yandex.ru за 2 недели до сессии. В теме письма обязательно указать номер вашей группы без пробелов, дефисов и тире. Например, у вас группа ФК-10б, в теме письма пишем: ФК10б.
Выбор варианта: осуществляется сопоставлением последней цифры номера зачетной книжки и варианта из таблицы:
Зачетка заканчивается на
|
Вариант
|
1 или 6
|
1
|
2 или 7
|
2
|
3 или 8
|
3
|
4 или 9
|
4
|
5 или 0
|
5
|
Исходные данные:
Имеются данные по уровню ВВП, объему инвестиций в основной капитал, выпуску продукции, средней заработной плате. По соответствующему варианту требуется:
1. Построить график связи между двумя признаками, определив какой из них является факторным (Х), а какой результативным (У). По графику подобрать соответствующую модель уравнения регрессии.
2. Методом наименьших квадратов определить параметры уравнения регрессии.
3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Найти средний коэффициент эластичности.
5. Оценить качество уравнения регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации.
6. Оценить значимость коэффициентов корреляции и регрессии по критерию t – Стьюдента при уровне значимости 0,05.
7. Охарактеризовать статистическую надежность уравнения регрессии по критерию F – Фишера при уровне значимости 0,05.
8. Рассчитать прогнозное значение результативного признака, если возможное значение факторного признака на 15 % больше его среднего значения по совокупности.
По каждому пункту написать вывод!
1 вариант
|
|
|
2 вариант
|
|
Год
|
ВВП, млрд. руб.
|
Инвестиции в основной капитал, млрд. руб.
|
|
Год
|
ВВП, млрд. руб.
|
Инвестиции в основной капитал, млрд. руб.
|
1995
|
1428,5
|
267,0
|
|
2004
|
17027,2
|
2865,0
|
1996
|
2007,8
|
376,0
|
|
2005
|
21609,8
|
3611,1
|
1997
|
2342,5
|
408,8
|
|
2006
|
26917,2
|
4730,0
|
1998
|
2629,6
|
407,1
|
|
2007
|
33247,5
|
6716,2
|
1999
|
4823,2
|
670,4
|
|
2008
|
41276,8
|
8781,6
|
2000
|
7305,6
|
1165,2
|
|
2009
|
38807,2
|
7976,0
|
2001
|
8943,6
|
1504,7
|
|
2010
|
46308,5
|
9152,1
|
2002
|
10830,5
|
1762,4
|
|
2011
|
55967,2
|
11035,7
|
2003
|
13208,2
|
2186,4
|
|
2012
|
62218,4
|
12586,1
|
2004
|
17027,2
|
2865,0
|
|
2013
|
66755,3
|
13255,5
|
|
|
|
|
|
|
|
3 вариант
|
|
|
4 вариант
|
|
Год
|
ВВП, млрд. руб.
|
Выпуск продукции в основных ценах, млрд. руб.
|
|
Год
|
ВВП, млрд. руб.
|
Выпуск продукции в основных ценах, млрд. руб.
|
1995
|
1428,5
|
2 767,6
|
2004
|
17027,2
|
29 490,6
|
1996
|
2007,8
|
3 799,1
|
|
2005
|
21609,8
|
37 020,6
|
1997
|
2342,5
|
4 327,5
|
|
2006
|
26917,2
|
46 223,9
|
1998
|
2629,6
|
4 574,0
|
|
2007
|
33247,5
|
57 752,1
|
1999
|
4823,2
|
8 303,2
|
|
2008
|
41276,8
|
71 601,7
|
2000
|
7305,6
|
12 552,2
|
|
2009
|
38807,2
|
68 116,4
|
2001
|
8943,6
|
15 922,8
|
|
2010
|
46308,5
|
82 054,6
|
2002
|
10830,5
|
18 973,7
|
|
2011
|
55967,2
|
97 681,7
|
2003
|
13208,2
|
23 273,1
|
|
2012
|
62218,4
|
108 606,5
|
2004
|
17027,2
|
29 490,6
|
|
2013
|
66755,3
|
117 320,3
|
5 вариант
|
|
Год
|
ВВП, млрд. руб.
|
Средняя зарплата на 1 рабочего, руб.
|
1995г.
|
1428,5
|
1275,7
|
1996г.
|
2007,8
|
1919,6
|
1998г.
|
2629,6
|
2094,4
|
2000г.
|
7305,6
|
4358,6
|
2002г.
|
10830,5
|
7644,0
|
2005г.
|
21609,8
|
13336,7
|
2007г.
|
33247,5
|
20683,1
|
2009г.
|
38807,2
|
28590,4
|
2013г.
|
66755,3
|
45870,2
|
Список литературы:
1 Бородич С.А. Эконометрика: Учеб. Пособие / С.А. Бородич. - Мн.: Новое знание, 2001.‒ 408с.
2 Доугерти К. Введение в эконометрику. Учебник. 2-е изд. / Пер. с англ. ‒ М.: ИНФРА-М, 2007.‒ 432 с.
3 Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. – М.: Дело, 2004.‒ 576 с.
4. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие. / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2005. 192 с.
5. Эконометрика: Учебник. / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. ‒ 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005.‒ 576с.
6. Эконометрика: учебник / Под ред. проф. В.С. Мхитаряна. – М.: Проспект, 2009.‒ 384с. |
